Équations fonctionnelles et applications -1

Une équation fonctionnelle est une équation dans laquelle les deux membres contiennent un nombre fini de fonctions, certaines sont connues et d'autres sont inconnues.

Une équation fonctionnelle dans laquelle toutes les fonctions inconnues sont d'une variable est appelée une équation fonctionnelle ordinaire.

Une équation fonctionnelle dans laquelle au moins une des fonctions inconnues est une fonction à plusieurs places est appelée une équation fonctionnelle partielle.

Exemple :

L'équation : f(x+2) = f(x+1)−f(x−1) est une équation fonctionnelle ordinaire.

L'équation : f(x+y +z) = f(x+y)+f(z) est une équation fonctionnelle partielle.

Si le nombre de fonctions considérées dans un ensemble d'équations fonctionnelles est plus

puis un, alors l'ensemble d'équations fonctionnelles est appelé un système d'équations fonctionnelles.

Exemple :

(i) f(x + y) = f(x) + f(y), pour tout x, y ∈ R ;

(ii) f( 1/x) = f(x)/x^2 , pour tout x # 0.

A functional equation derived from two or more combinations of additive, quadratic, cubic, and quartic functions is said to be a mixed type functional equation.

Example :

The equation : 

f(x+ 2y) + f(x − 2y) + 4f(x) = 3[f(x + y) + f(x − y)] + f(2y) − 2f(y).