Functional Equations and Applications-2:

Le nombre de variables indépendantes apparaissant dans une équation fonctionnelle est appelé le rang de l'équation fonctionnelle.

Exemple : 

Le rang de l'équation fonctionnelle f(x + y) = f(x) + f(y) est 2.

Une solution d'une équation fonctionnelle est une fonction qui satisfait l'équation donnée.

Par exemple, les fonctions : f(x) = kx , f(x) = ex, f(x) = xk et f(x) = k log x, x > 0 où k est une constante, sont les solutions des Équations fonctionnelles de Cauchy

f(x + y) = f(x) + f(y) (équation fonctionnelle additive), (1.1)

f(x + y) = f(x)f(y) (équation fonctionnelle exponentielle), (1.2)

f(xy) = f(x)f(y) (équation fonctionnelle multiplicative), (1.3)

- f(xy) = f(x) + f(y) (équation fonctionnelle logarithmique), (1.4)

La solution générale d'une équation fonctionnelle ou d'un système d'équations fonctionnelles est l'ensemble des solutions particulières.

Example 1.6. The functions f(x) = cx + a + b, g(x) = cx + a, h(x) = cx + b are

 The functions: f(x) = cx + a + b, g(x) = cx + a, h(x) = cx + b are  solutions of the functional equation: f(x + y) = g(x) + h(y), where a, b, c are any values.

A function or a set of functions is said to be a particular solution of a function equation or a system of functional equations if it satisfies the functional equation or the system of functional equations.

Example 1.7. The functional equation f(x + y) = g(x) + h(y) has a particular

 The functional equation: f(x + y) = g(x) + h(y) has a particular  solution f(x) = 2x+ 3, g(x) = 2x+ 1, h(x) = 2x + 2, respectively.